टेसेलेशन: पुनरावृत्ती होणाऱ्या नमुन्यांच्या गणिताचा शोध

टेसेलेशन, ज्याला टाइलिंग किंवा फरसबंदी असेही म्हणतात, म्हणजे एक किंवा अधिक भौमितिक आकारांनी, ज्यांना टाइल्स म्हणतात, पृष्ठभाग व्यापणे, ज्यात कोणतेही ओव्हरलॅप्स (एकमेकांवर चढणे) किंवा अंतर नसते. गणितीयदृष्ट्या, हे भूमिती, कला आणि अगदी भौतिकशास्त्राला जोडणारे एक आकर्षक क्षेत्र आहे. हा लेख टेसेलेशनचे सखोल अन्वेषण करतो, ज्यात त्यांचे गणितीय आधार, ऐतिहासिक संदर्भ, कलात्मक उपयोग आणि वास्तविक जीवनातील उदाहरणे समाविष्ट आहेत.

टेसेलेशन म्हणजे काय?

मूलतः, टेसेलेशन म्हणजे सपाट पृष्ठभाग व्यापण्यासाठी आकार किंवा आकारांच्या संचाची पुनरावृत्ती करून तयार केलेला एक नमुना. त्याची प्रमुख वैशिष्ट्ये आहेत:

• कोणतेही अंतर नाही: टाइल्स एकमेकांमध्ये पूर्णपणे बसल्या पाहिजेत, त्यांच्यामध्ये कोणतीही रिकामी जागा शिल्लक राहता कामा नये.
• ओव्हरलॅप नाही: टाइल्स एकमेकांवर चढू शकत नाहीत.
• संपूर्ण व्याप्ती: टाइल्सने संपूर्ण पृष्ठभाग व्यापला पाहिजे.

टेसेलेशनचे वर्गीकरण वापरलेल्या आकारांच्या प्रकारांनुसार आणि त्यांच्या मांडणीच्या पद्धतीनुसार केले जाऊ शकते. सोप्या टेसेलेशनमध्ये एकाच आकाराचा समावेश असतो, तर गुंतागुंतीच्या टेसेलेशनमध्ये अनेक आकार वापरले जातात.

टेसेलेशनचे प्रकार

टेसेलेशनचे वर्गीकरण साधारणपणे खालील प्रकारांमध्ये केले जाऊ शकते:

नियमित टेसेलेशन

नियमित टेसेलेशन हे फक्त एकाच प्रकारच्या नियमित बहुभुजाकृतीने (ज्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व बाजू आणि कोन समान असतात) बनलेले असते. फक्त तीन नियमित बहुभुजाकृती आहेत ज्या सपाट पृष्ठभाग व्यापू शकतात:

• समभुज त्रिकोण: हे एक अतिशय सामान्य आणि स्थिर टेसेलेशन तयार करतात. पुलांमधील त्रिकोणी आधार संरचना किंवा काही स्फटिकांच्या जाळीमधील अणूंच्या मांडणीचा विचार करा.
• चौरस: कदाचित सर्वात सर्वव्यापी टेसेलेशन, जे फरश्या, आलेख कागद आणि जगभरातील शहरांच्या रचनेत दिसते. चौरसांचे अचूक काटकोनी स्वरूप त्यांना व्यावहारिक उपयोगांसाठी आदर्श बनवते.
• नियमित षटकोन: मधमाश्यांच्या पोळ्यांमध्ये आणि काही आण्विक संरचनांमध्ये आढळणारे षटकोन जागेचा कार्यक्षम वापर आणि संरचनात्मक अखंडता प्रदान करतात. त्यांची षटकोनी सममिती अद्वितीय गुणधर्म देते.

हे तीनच शक्य असलेले नियमित टेसेलेशन आहेत कारण बहुभुजाकृतीचा आंतरकोन एका शिरोबिंदूवर भेटण्यासाठी ३६० अंशांचा विभाजक असणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, समभुज त्रिकोणाचे कोन ६० अंश असतात आणि सहा त्रिकोण एका बिंदूवर भेटू शकतात (६ * ६० = ३६०). चौरसाचे कोन ९० अंश असतात आणि चार चौरस एका बिंदूवर भेटू शकतात. षटकोनाचे कोन १२० अंश असतात आणि तीन षटकोन एका बिंदूवर भेटू शकतात. नियमित पंचकोनाचे कोन १०८ अंश असल्याने तो टेसेलेट करू शकत नाही, कारण ३६० ला १०८ ने पूर्ण भाग जात नाही.

अर्ध-नियमित टेसेलेशन

अर्ध-नियमित टेसेलेशन (ज्यांना आर्किमिडीयन टेसेलेशन असेही म्हणतात) मध्ये दोन किंवा अधिक वेगवेगळ्या नियमित बहुभुजाकृती वापरल्या जातात. प्रत्येक शिरोबिंदूवरील बहुभुजाकृतींची मांडणी समान असणे आवश्यक आहे. आठ संभाव्य अर्ध-नियमित टेसेलेशन आहेत:

• त्रिकोण-चौरस-चौरस (३.४.४.६)
• त्रिकोण-चौरस-षटकोन (३.६.३.६)
• त्रिकोण-त्रिकोण-चौरस-चौरस (३.३.४.३.४)
• त्रिकोण-त्रिकोण-त्रिकोण-चौरस (३.३.३.४.४)
• त्रिकोण-त्रिकोण-त्रिकोण-त्रिकोण-षटकोन (३.३.३.३.६)
• चौरस-चौरस-चौरस (४.८.८)
• त्रिकोण-द्वादशकोन-द्वादशकोन (४.६.१२)
• त्रिकोण-चौरस-द्वादशकोन (३.१२.१२)

कंसातील नोटेशन शिरोबिंदूभोवतीच्या बहुभुजाकृतींचा क्रम दर्शवते, जो घड्याळाच्या दिशेने किंवा उलट दिशेने असतो.

अनियमित टेसेलेशन

अनियमित टेसेलेशन हे अनियमित बहुभुजाकृतींनी (ज्या बहुभुजाकृतींच्या बाजू आणि कोन समान नसतात) तयार केले जाते. कोणताही त्रिकोण किंवा चतुर्भुज (बहिर्वक्र किंवा अंतर्वक्र) सपाट पृष्ठभाग व्यापू शकतो. ही लवचिकता कलात्मक आणि व्यावहारिक उपयोगांची विस्तृत श्रेणी शक्य करते.

अनावर्ती टेसेलेशन

अनावर्ती टेसेलेशन म्हणजे टाइलिंगचा असा प्रकार, ज्यात विशिष्ट टाइल्सचा संच वापरला जातो जो केवळ अनावर्ती पद्धतीनेच पृष्ठभाग व्यापू शकतो. याचा अर्थ हा नमुना कधीही तंतोतंत पुनरावृत्त होत नाही. याचे सर्वात प्रसिद्ध उदाहरण म्हणजे पेनरोज टाइलिंग, जे १९७० च्या दशकात रॉजर पेनरोज यांनी शोधले. पेनरोज टाइलिंगमध्ये दोन वेगवेगळ्या समभुज चौकोनांचा वापर करून अनावर्ती नमुना तयार होतो. या टाइलिंगमध्ये मनोरंजक गणितीय गुणधर्म आहेत आणि ते काही प्राचीन इस्लामिक इमारतींवरील नमुन्यांसारख्या आश्चर्यकारक ठिकाणी आढळले आहेत.

टेसेलेशनची गणितीय तत्त्वे

टेसेलेशनमागील गणित समजून घेण्यासाठी भूमितीतील संकल्पना, जसे की कोन, बहुभुजाकृती आणि सममिती यांचा समावेश होतो. मुख्य तत्त्व हे आहे की एका शिरोबिंदूभोवतीच्या कोनांची बेरीज ३६० अंश असणे आवश्यक आहे.

कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म

आधी सांगितल्याप्रमाणे, प्रत्येक शिरोबिंदूवरील कोनांची बेरीज ३६० अंश असणे आवश्यक आहे. हे तत्त्व ठरवते की कोणत्या बहुभुजाकृती टेसेलेशन तयार करू शकतात. नियमित बहुभुजाकृतींचे आंतरकोन ३६० चे विभाजक असणे आवश्यक आहे.

सममिती

सममिती टेसेलेशनमध्ये महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते. टेसेलेशनमध्ये अनेक प्रकारची सममिती असू शकते:

• स्थानांतरण: नमुना एका रेषेत सरळ हलवला (स्थानांतरित केला) तरीही तो तसाच दिसतो.
• परिभ्रमण: नमुना एका बिंदूभोवती फिरवला तरीही तो तसाच दिसतो.
• प्रतिबिंब: नमुना एका रेषेवर प्रतिबिंबित केला तरीही तो तसाच दिसतो.
• सरकते प्रतिबिंब: प्रतिबिंब आणि स्थानांतरण यांचे संयोजन.

या सममितींचे वर्णन वॉलपेपर गट म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या संकल्पनेद्वारे केले जाते. १७ वॉलपेपर गट आहेत, प्रत्येक गट द्विमितीय पुनरावृत्ती होणाऱ्या नमुन्यात अस्तित्वात असलेल्या सममितींच्या अद्वितीय संयोजनाचे प्रतिनिधित्व करतो. वॉलपेपर गटांची माहिती गणितज्ञ आणि कलाकारांना विविध प्रकारच्या टेसेलेशनचे पद्धतशीरपणे वर्गीकरण करण्यास आणि तयार करण्यास मदत करते.

युक्लिडियन आणि गैर-युक्लिडियन भूमिती

पारंपारिकपणे, टेसेलेशनचा अभ्यास युक्लिडियन भूमितीच्या चौकटीत केला जातो, जी सपाट पृष्ठभागांशी संबंधित आहे. तथापि, टेसेलेशनचा शोध गैर-युक्लिडियन भूमितीमध्ये, जसे की हायपरबोलिक भूमितीमध्ये देखील केला जाऊ शकतो. हायपरबोलिक भूमितीमध्ये, समांतर रेषा एकमेकांपासून दूर जातात आणि त्रिकोणातील कोनांची बेरीज १८० अंशांपेक्षा कमी असते. यामुळे अशा बहुभुजाकृतींसह टेसेलेशन तयार करणे शक्य होते जे युक्लिडियन अवकाशात शक्य नाही. एम.सी. एशर यांनी एच.एस.एम. कॉक्सेटर यांच्या गणितीय दृष्टिकोनाच्या मदतीने त्यांच्या नंतरच्या कामांमध्ये हायपरबोलिक टेसेलेशनचा प्रसिद्धपणे शोध घेतला.

ऐतिहासिक आणि सांस्कृतिक महत्त्व

टेसेलेशनचा वापर प्राचीन संस्कृतींपासून चालत आला आहे आणि तो जगभरातील कला, वास्तुकला आणि सजावटीच्या नमुन्यांच्या विविध प्रकारांमध्ये आढळतो.

प्राचीन संस्कृती

• प्राचीन रोम: रोमन मोझॅकमध्ये अनेकदा लहान रंगीत टाइल्स (टेसेरी) वापरून गुंतागुंतीचे टेसेलेशन असतात, ज्यामुळे सजावटीचे नमुने आणि दृश्यांचे चित्रण केले जाते. हे मोझॅक रोमन साम्राज्यात इटलीपासून उत्तर आफ्रिका आणि ब्रिटनपर्यंत आढळले आहेत.
• प्राचीन ग्रीस: ग्रीक वास्तुकला आणि मातीच्या भांड्यांमध्ये अनेकदा भौमितिक नमुने आणि टेसेलेशन समाविष्ट असतात. उदाहरणार्थ, मिएंडर नमुने हे टेसेलेशनचे एक रूप आहे जे ग्रीक कलेमध्ये वारंवार दिसते.
• इस्लामिक कला: इस्लामिक कला तिच्या गुंतागुंतीच्या भौमितिक नमुन्यांसाठी आणि टेसेलेशनसाठी प्रसिद्ध आहे. इस्लामिक कलेतील टेसेलेशनचा वापर धार्मिक विश्वासांमध्ये रुजलेला आहे, जो अनंत आणि सर्व गोष्टींच्या एकतेवर जोर देतो. इस्लामिक जगभरातील मशिदी आणि राजवाडे विविध भौमितिक आकारांचा वापर करून टेसेलेशनची आकर्षक उदाहरणे दर्शवतात. स्पेनमधील ग्रानाडा येथील अल्हम्ब्रा राजवाडा हे याचे उत्तम उदाहरण आहे, ज्यात विविध टेसेलेटेड नमुन्यांसह गुंतागुंतीचे मोझॅक आणि टाइलवर्क आहे.

आधुनिक उपयोग

टेसेलेशन आजही संबंधित आहेत आणि विविध क्षेत्रांमध्ये त्यांचा उपयोग होतो:

• वास्तुकला: इमारतींच्या दर्शनी भागात, छतांवर आणि अंतर्गत डिझाइनमध्ये दृष्यदृष्ट्या आकर्षक आणि संरचनात्मकदृष्ट्या मजबूत रचना तयार करण्यासाठी टेसेलेटेड पृष्ठभागांचा वापर केला जातो. उदाहरणांमध्ये यूकेच्या कॉर्नवॉलमधील इडन प्रोजेक्टचा समावेश आहे, ज्यात षटकोनी पॅनेलने बनलेले जिओडेसिक डोम आहेत.
• संगणक ग्राफिक्स: टेसेलेशन हे संगणक ग्राफिक्समध्ये वापरले जाणारे एक तंत्र आहे, ज्यात ३डी मॉडेल्सचा तपशील वाढवण्यासाठी बहुभुजाकृतींना लहान तुकड्यांमध्ये विभागले जाते. यामुळे पृष्ठभाग अधिक गुळगुळीत आणि अधिक वास्तववादी दिसतात.
• वस्त्रोद्योग डिझाइन: कापडांवर पुनरावृत्ती होणारे नमुने तयार करण्यासाठी वस्त्रोद्योग डिझाइनमध्ये टेसेलेशनचा वापर केला जातो. हे नमुने साध्या भौमितिक डिझाइनपासून गुंतागुंतीच्या आणि नाजूक आकृतिबंधांपर्यंत असू शकतात.
• पॅकेजिंग: उत्पादनांचे कार्यक्षमतेने पॅकिंग करण्यासाठी, कचरा कमी करण्यासाठी आणि जागेचा जास्तीत जास्त वापर करण्यासाठी टेसेलेशनचा वापर केला जाऊ शकतो.
• विज्ञान: टेसेलेटिंग आकार निसर्गात आढळतात, जसे की मधमाशीच्या पोळ्यातील षटकोनी पेशी किंवा काही माशांचे खवले. टेसेलेशन समजून घेतल्याने शास्त्रज्ञांना या नैसर्गिक घटनांचे मॉडेलिंग करण्यास आणि समजून घेण्यास मदत होते.

कला आणि निसर्गातील टेसेलेशनची उदाहरणे

टेसेलेशन केवळ गणितीय संकल्पना नाहीत; ते कला आणि निसर्गातही आढळतात, प्रेरणा आणि व्यावहारिक उपयोग प्रदान करतात.

एम.सी. एशर

मॉरिट्स कॉर्नेलिस एशर (१८९८-१९७२) हे एक डच ग्राफिक कलाकार होते जे त्यांच्या गणितीयदृष्ट्या प्रेरित वुडकट्स, लिथोग्राफ्स आणि मेझोटिंट्ससाठी ओळखले जातात. एशर यांच्या कामांमध्ये अनेकदा टेसेलेशन, अशक्य रचना आणि अनंततेचा शोध असतो. ते टेसेलेशनच्या संकल्पनेने मोहित झाले होते आणि त्यांनी दृष्यदृष्ट्या आकर्षक आणि बौद्धिकदृष्ट्या उत्तेजक कलाकृती तयार करण्यासाठी त्याचा मोठ्या प्रमाणावर वापर केला. त्यांची "रेप्टाइल्स", "स्काय अँड वॉटर" आणि "सर्कल लिमिट III" सारखी कामे टेसेलेशनची प्रसिद्ध उदाहरणे आहेत, ज्यात आकार वेगवेगळ्या रूपात बदलतात आणि आकलनाच्या सीमांचा शोध घेतात. त्यांच्या कामाने गणित आणि कला यांच्यातील अंतर कमी केले, ज्यामुळे गणितीय संकल्पना व्यापक प्रेक्षकांसाठी सुलभ आणि आकर्षक बनल्या.

मधमाशांचे पोळे

मधमाशांचे पोळे हे नैसर्गिक टेसेलेशनचे एक उत्कृष्ट उदाहरण आहे. मधमाश्या आपले पोळे षटकोनी पेशी वापरून तयार करतात, ज्या एकमेकांमध्ये पूर्णपणे बसून एक मजबूत आणि कार्यक्षम रचना तयार करतात. षटकोनी आकारामुळे कमीत कमी मेण वापरून जास्तीत जास्त मध साठवता येतो. संसाधनांचा हा कार्यक्षम वापर टेसेलेटेड संरचनांच्या उत्क्रांतीच्या फायद्यांचा पुरावा आहे.

जिराफाचे ठिपके

जिराफाचे ठिपके, जरी ते परिपूर्ण टेसेलेशन नसले तरी, टेसेलेशनसारखा नमुना दर्शवतात. ठिपक्यांचे अनियमित आकार एकमेकांमध्ये अशा प्रकारे बसतात की ते जिराफाचे शरीर कार्यक्षमतेने व्यापतात. हा नमुना छलावरण प्रदान करतो, ज्यामुळे जिराफला त्याच्या वातावरणात मिसळण्यास मदत होते. जरी ठिपक्यांचा आकार आणि रूप वेगवेगळे असले तरी, त्यांची मांडणी नैसर्गिकरित्या आढळणारा टेसेलेशनसारखा नमुना दर्शवते.

फ्रॅक्टल टेसेलेशन

फ्रॅक्टल टेसेलेशन फ्रॅक्टल्स आणि टेसेलेशनच्या तत्त्वांना एकत्र करून गुंतागुंतीचे आणि स्व-समान नमुने तयार करतात. फ्रॅक्टल्स हे भौमितिक आकार आहेत जे वेगवेगळ्या स्तरांवर स्व-समानता दर्शवतात. जेव्हा फ्रॅक्टल्सचा वापर टेसेलेशनमध्ये टाइल्स म्हणून केला जातो, तेव्हा परिणामी नमुना अमर्यादपणे गुंतागुंतीचा आणि दृष्यदृष्ट्या आकर्षक असू शकतो. या प्रकारचे टेसेलेशन गणितीय दृश्यांमध्ये आणि संगणक-निर्मित कलेमध्ये आढळू शकतात. सियरपिन्स्की त्रिकोण किंवा कोच स्नोफ्लेकवर आधारित फ्रॅक्टल टेसेलेशनची उदाहरणे आहेत.

तुमचे स्वतःचे टेसेलेशन कसे तयार करावे

टेसेलेशन तयार करणे हा एक मजेदार आणि शैक्षणिक उपक्रम असू शकतो. येथे काही सोप्या तंत्रांचा वापर करून तुम्ही तुमचे स्वतःचे टेसेलेशन तयार करू शकता:

मूलभूत स्थानांतरण पद्धत

1. चौरसाने सुरुवात करा: कागदाच्या किंवा कार्डबोर्डच्या चौरस तुकड्याने सुरुवात करा.
2. कापा आणि स्थानांतरित करा: चौरसाच्या एका बाजूने एक आकार कापा. नंतर, तो आकार विरुद्ध बाजूला स्थानांतरित करा (सरकवा) आणि जोडा.
3. पुन्हा करा: ही प्रक्रिया चौरसाच्या इतर दोन बाजूंवर पुन्हा करा.
4. टेसेलेट करा: आता तुमच्याकडे एक टाइल आहे जी टेसेलेट केली जाऊ शकते. टेसेलेटेड नमुना तयार करण्यासाठी कागदाच्या तुकड्यावर टाइल वारंवार ट्रेस करा.

परिभ्रमण पद्धत

1. एका आकाराने सुरुवात करा: चौरस किंवा समभुज त्रिकोणासारख्या नियमित बहुभुजाकृतीने सुरुवात करा.
2. कापा आणि फिरवा: बहुभुजाकृतीच्या एका बाजूने एक आकार कापा. नंतर, तो आकार एका शिरोबिंदूभोवती फिरवा आणि दुसऱ्या बाजूला जोडा.
3. पुन्हा करा: आवश्यकतेनुसार ही प्रक्रिया पुन्हा करा.
4. टेसेलेट करा: टेसेलेटेड नमुना तयार करण्यासाठी टाइल वारंवार ट्रेस करा.

सॉफ्टवेअर वापरणे

विविध सॉफ्टवेअर प्रोग्राम्स आणि ऑनलाइन साधने उपलब्ध आहेत जी तुम्हाला टेसेलेशन तयार करण्यास मदत करू शकतात. ही साधने तुम्हाला गुंतागुंतीचे आणि दृष्यदृष्ट्या आकर्षक नमुने तयार करण्यासाठी विविध आकार, रंग आणि सममितीसह प्रयोग करण्याची परवानगी देतात. काही लोकप्रिय सॉफ्टवेअर पर्यायांमध्ये हे समाविष्ट आहे:

• टेसलमॅनिॲक! (TesselManiac!)
• ॲडोब इलस्ट्रेटर (Adobe Illustrator)
• जिओजेब्रा (Geogebra)

टेसेलेशनचे भविष्य

टेसेलेशन हे सक्रिय संशोधन आणि अन्वेषणाचे क्षेत्र आहे. नवीन प्रकारचे टेसेलेशन शोधले जात आहेत आणि विविध क्षेत्रांमध्ये नवीन उपयोग आढळत आहेत. काही संभाव्य भविष्यातील विकासांमध्ये हे समाविष्ट आहे:

• नवीन साहित्य: अद्वितीय गुणधर्मांसह नवीन साहित्याच्या विकासामुळे वर्धित शक्ती, लवचिकता किंवा कार्यक्षमतेसह नवीन प्रकारचे टेसेलेटेड संरचना तयार होऊ शकतात.
• रोबोटिक्स: वेगवेगळ्या वातावरणाशी जुळवून घेण्यासाठी आणि विविध कार्ये करण्यासाठी टेसेलेटेड रोबोट्स डिझाइन केले जाऊ शकतात. हे रोबोट्स मॉड्यूलर टाइल्सपासून बनलेले असू शकतात जे रोबोटचा आकार आणि कार्य बदलण्यासाठी स्वतःला पुन्हा व्यवस्थित करू शकतात.
• नॅनोटेक्नॉलॉजी: विशिष्ट गुणधर्मांसह स्व-एकत्रित संरचना तयार करण्यासाठी नॅनोटेक्नॉलॉजीमध्ये टेसेलेशनचा वापर केला जाऊ शकतो. या संरचना औषध वितरण, ऊर्जा साठवण आणि सेन्सिंगसारख्या अनुप्रयोगांमध्ये वापरल्या जाऊ शकतात.

निष्कर्ष

टेसेलेशन हे गणिताचे एक समृद्ध आणि आकर्षक क्षेत्र आहे जे भूमिती, कला आणि विज्ञानाला जोडते. फरश्यांच्या साध्या नमुन्यांपासून ते इस्लामिक मोझॅकच्या गुंतागुंतीच्या डिझाइनपर्यंत आणि एम.सी. एशर यांच्या नाविन्यपूर्ण कलेपर्यंत, टेसेलेशनने शतकानुशतके लोकांना मोहित आणि प्रेरित केले आहे. टेसेलेशनमागील गणितीय तत्त्वे समजून घेऊन, आपण त्यांच्या सौंदर्याची आणि कार्यक्षमतेची प्रशंसा करू शकतो आणि विविध क्षेत्रांतील त्यांच्या संभाव्य उपयोगांचा शोध घेऊ शकतो. तुम्ही गणितज्ञ असाल, कलाकार असाल किंवा तुमच्या सभोवतालच्या जगाबद्दल फक्त उत्सुक असाल, टेसेलेशन अन्वेषणासाठी एक अद्वितीय आणि समाधानकारक विषय देतात.

म्हणून, पुढच्या वेळी जेव्हा तुम्ही एखादा पुनरावृत्ती होणारा नमुना पाहाल, तेव्हा टेसेलेशनच्या गणितीय अभिजाततेची आणि सांस्कृतिक महत्त्वाचे कौतुक करण्यासाठी थोडा वेळ काढा!